Конспект

При подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня важно научиться грамотно оперировать базовыми понятиями, работать с математическими объектами, строить правильные логические высказывания. Сегодня наша основная задача - начать привыкать к строго математическим рассуждениям.

В качестве бесплатного результата научимся решать задачи №7, 8 из экзамена: "решите уравнение" и "найдите значение выражения".

Множества

Когда мы что то делаем в математике - мы на самом деле работаем множествами.

Вот примеры числовых множеств: $$\mathbb{N}, \quad \mathbb{Q}, \quad \mathbb{Z}, \quad \mathbb{R}$$

 - это, соответственно, натуральные, рациональные, целые, действительные числа. Если мы говорим, что число \(t\) целое, это можно коротко записать как \(t \in \mathbb{Z} \) (\(t\) является элементом множества целых чисел).

Геометрические объекты тоже являются множествами. Например, окружность - это множество точек, равноудаленных от центра. Проведенная на плоскости прямая, треугольник, тоже являются множествами точек. Если точка \(A\) лежит на прямой \(l\) - это можно записать как \(A \in l \).

Многочлены

Выражение вида $$p(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + a_1x + a_0,$$ где \(a_i \in \mathbb{R}\), а \(x\) - переменная, называется многочленом степени \(n\) от одной переменной.

Вместо переменной \(x\) можно подставлять произвольные числа, например, число \(t\), и вычислять значение многочлена в точке \(t\). Будем обозначать это как \(p(t)\).

Корнем многочлена называется такое число \(t\), что \(p(t) = 0\).

Линейные уравнения

Линейная функция - это многочлен степени 1.

Вообще, про понятие функции мы подробнее поговорим чуть позже, тут, к сожалению, иногда будут возникать переплетения, связанные с тем, что мы повторяем всю школьную программу.

Линейным уравнением называется уравнение вида \(p(x) = 0\), где \(p(x)\) - линейная функция. В общем виде линейное уравнение можно записать как $$ ax + b = 0 $$

Здесь числа \(a\) и \(b\) являются неизвестными, от них зависит условие уравнения. Задачи, условие которых зависит от переменных, называются задачами с параметром. Здесь числа \(a\) и \(b\) - параметры. Решить задачу с параметром - значит найти все решения задачи при всех значениях параметров. В этом примере необходимо отдельно разобрать случаи \(a = 0\) и \(b = 0\).

Квадратные уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида \(p(x) = 0\), где \(p(x)\) - многочлен степени 2. Такие многочлены еще называют квадратными трехчленами. В общем виде квадратное уравнение можно записать как $$ ax^2 + bx + c = 0 $$

Попробуйте решить это квадратное уравнение с параметром.

Линейные и квадратные уравнения с параметром - это первое, с чего стоит начать изучение задач с параметром. Подробнее мы такие задачи будем обсуждать во втором полугодии, зато теперь вы, надеюсь, не боитесь слова "параметр".

Рациональные уравнения

Рациональная функция - это функция вида $$\dfrac {p(x)} {q(x)},$$ где \(p(x), \ q(x)\) - многочлены.

Число \(x\) является корнем рационального уравнения \( \dfrac {p(x)} {q(x)} = 0 \) тогда и только тогда, когда \( p(x) = 0\), а \(q(x) \neq 0 \). Это записывается следующим образом:

$$\dfrac {p(x)} {q(x)} = 0 \iff \begin {cases} p(x) = 0, \\ q(x) \neq 0 \end{cases}$$

Иррациональные уравнения

Выражение называется иррациональным, если оно включает в себя корни некоторой степени. Главное правило: если корень нечетной степени, то нужно убедиться в том, что подкоренное выражение неотрицательно.

Пример: $$\sqrt{x - 1} = 3 - x \iff \begin{cases} x - 1 = (3 - x)^2, \\ 3 - x \geq 0 \end{cases}$$ (доделайте сами)

Немного про логику

Стрелки вида \(\iff\) означают, что слева и справа стоят эквивалентные утверждения. Эти стрелки мы постоянно будем использовать при различных преобразованиях для того, чтобы показать, что с математической точки зрения абсолютно ничего не меняется, то есть мы просто разными словами переписываем совершенно одно и то же. Убедитесь в том, что в прошлых двух пунктах написаны именно эквивалентные высказывания.

Стрелки в одну сторону (\(\Rightarrow\)) мы пишем, показывая, что из написанного слева следует написанное справа. В этом случае выражения могут и не быть эквивалентными.

Пример: \(ABCD\) - ромб \(\Rightarrow\) \(ABCD\) - параллелограмм. Обратите внимание: данное высказывание верно, но не всегда работает в обратную сторону. Не каждый параллелограмм является ромбом.

Пример: \(x = 1 \ \Rightarrow \ x^2 = 1 \) - тоже верное высказывание, но не всегда верное в обратную сторону. Если \(x^2 = 1\), то не факт, что \(x = 1\), \(x\) еще может быть равен \(-1\)

При решении содержательных задач рекомендую придерживаться подобных записей и задумываться об эквивалентности или неэквивалентности утверждений.

Показательно-степенная функция

Выражение вида \(a^x\) где \(a \in \mathbb{R}, \ a > 0\), называется показательно-степенной функцией.

Подумайте, почему мы требуем, чтобы \(a\) было больше нуля? А есть ли какие то ограничения на \(x\)?

А что значит возвести число 2 в степень \(\pi\) (иррациональную степень)?

Вспомните свойства степеней (при перемножении показатели складываются и т д)

Логарифмическая функция

Логарифмическую функцию мы определим следующим образом: $$\log_a(x) = c \iff a^c = x.$$ Иными словами, логарифмическая функция является обратной к показательно-степенной функции. При этом есть несколько ограничений. Во-первых, \(a > 0\) и \(a \neq 1\). Во-вторых, \(x > 0\). Подумайте, почему нам требуются такие ограничения.

Этого знания достаточно, чтобы решать большинство задач с логарифмами. С понятием логарифма мы знакомимся сразу, чтобы вы постепенно привыкали к нему в течение учебного года.

Свойства логарифмов:

$$\log_{a^p}(b^q) = \dfrac {q} {p} \log_{a}(b)$$

$$\log_a(x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y, \quad \log_{a} \left(\dfrac {x} {y} \right) = \log_{a} x - \log_{a} y$$

Важно! Вообще говоря, показательно-степенную и логарифмическую функцию в математике принято вводить иными способами. Дело в том, что наши определения не вполне точны и не очень удобны для задач математического анализа (непонятно, например, как тут считать производную). Эти функции определяются по-другому, а те факты, которые мы получили, являются их свойствами. Но на школьном уровне допустимо думать про показательно-степенную и логарифмическую функции именно в таком виде.

Тригонометрия

Рассмотрим единичную окружность (окружность радиуса 1). У каждой точки на такой окружности есть числовая координата, равная тому, сколько нужно "пробежать" от нуля в положительном (против часовой стрелки) направлении. Длина окружности равна \(2\pi\), поэтому при добавлении к координате \(2\pi\) точка не меняется.

Также на плоскости можно ввести декартовы координаты так, чтобы центр окружности был в нуле, а начало бега (координата 0 на окружности) было в точке \((1; 0)\).

Тогда косинус и синус числа \(t\) - это координаты \(x\) и \(y\) точки на единичной окружности с координатой \(t\).

В этих координатах нужно уметь быстро разбираться, видеть симметричные точки, знать формулы приведения и формулы двойного угла. Подробнее про вывод всех формул мы поговорим на занятиях по тригонометрии (задача 14), а пока просто предлагаю запомнить

$$\sin^2 (x) + \cos^2 (x) = 1$$

$$\cos(-x) = \cos(x), \quad \sin(-x) = -\sin(x)$$

$$ \cos\left(\dfrac \pi 2 - x\right) = \sin (x), \quad \sin\left(\dfrac \pi 2 - x\right) = \cos(x)$$